記

インパルス応答と伝達関数

信号処理

前回の続き．今回はz変換を導入し，インパルス応答と伝達関数の関係について書いてみる．

z変換

z変換とは何か．アナログ信号処理における積分変換の1つにラプラス変換があるが，z変換はディジタル信号処理におけるラプラス変換のようなものである．いつか書くかも知れないが，フーリエ変換がラプラス変換の特殊な場合であるのと同様に，離散フーリエ変換はz変換の特殊な場合である．

任意の離散信号x[n]のz変換は次式で表される．
\;\;\;\;X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}
ここで，X(z)はzの関数であり，zは複素数である．

上式から分かるように，z変換においてはzの収束領域が重要となる．もし，複素平面上での収束領域が単位円を含んでいれば，z=e^{j \omega}を代入するだけで離散フーリエ変換となる．逆に，収束領域が単位円の内側にあれば，離散フーリエ変換は存在しなくなる．また，単位円上に極がある場合には，z=e^{j \omega}としても離散フーリエ変換とはならず，別の項を付け加える必要がでてくる．

ちなみに，逆z変換は
\;\;\;\;x[n] = \displaystyle \frac{1}{2 \pi j} \oint X(z)z^{n-1} {\rm d}z
で表される．しかし，一般にこの積分を計算することは大変難しいので，普通は部分分数展開や留数を用いて計算する．

z変換と離散畳み込み

任意の離散信号x[n],\;y[n]のz変換をそれぞれ，X(z),\;Y(z)とする．
\;\;\;\;\begin{array} X(z) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \\ Y(z) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n] z^{-n} \\ \end{array}


今，X(z)とY(z)の積を考えてみる．
\;\;\;\;\begin{array}{ccl} X(z)Y(z) &=& \left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \right\} \left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n] z^{-n} \right\} \\ &=& (\cdots + x[-1]z + x[0] + x[1]z^{-1} + \cdots)(\cdots + y[-1]z + y[0] + y[1]z^{-1} + \cdots) \end{array}
上式において，zの次数で分けて計算すると

(定数項) \cdots + x[-1]y[1] + x[0]y[0] + x[1]y[-1] + \cdots
(z^{-1}の係数) \cdots + x[-1]y[2] + x[0]y[1] + x[1]y[0] + \cdots
(z^{-2}の係数) \cdots + x[-1]y[3] + x[0]y[2] + x[1]y[1] + \cdots
(z^{-n}の係数) \cdots + x[-1]y[n+1] + x[0]y[n] + x[1]y[n-1] + \cdots

これらを改めて，\sumでまとめてみると，
\;\;\;\;\begin{array}{ccl} X(z)Y(z) &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{ \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]y[n-m] \right\} z^{-n} \\ &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} (x[n] \ast y[n]) z^{-n} \end{array}
となる．つまり，z変換を用いると，離散畳み込みを単純な積に置き換えることができる．

伝達関数

システムの伝達関数とは，システムのインパルス応答のz変換である．今，線形システム{\cal L}のインパルス応答をh[n]とすれば，伝達関数H(z)は，
\;\;\;\;H(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n] z^{-n}
で計算できる．

インパルス応答と伝達関数

システムの入出力f[n],\;g[n]とインパルス応答h[n]は，次のような離散畳み込みの式で表される．
\;\;\;\;g[n]=f[n] \ast h[n]
このとき，f[n]のz変換をF(z)，g[n]のz変換をG(z)とすれば，離散畳み込みとz変換の関係から，
\;\;\;\;G(z)=F(z) H(z)
という式が成り立つ．

つまり，離散信号においては入出力はインパルス応答との畳み込みで関係づけられ，z変換後は入出力は伝達関数との積で関係づけられる．
\;\;\;\;\begin{array} g[n] &=& f[n] & \ast & h[n] \\ \updownarrow & & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow \\ G(z) &=& F(z) & \times & H(z) \end{array}